0-1 背包问题
描述:
给定 n 个物品的 重量 weight,价值 value,以及一个容量为 W 的背包,求如何装入物品,使背包内物品价值最大
对于一件物品,只能选择或不选择(0-1)
输入:
value[n] —— n 个物品的价值表
weight[n] —— n 个物品的重量表
MaxWeight —— 背包的最大容量
输出:
MaxValue —— 背包可获得的最大价值
items —— 选择装入背包的物品列表
举例:
Input:
val[] = {60, 100, 120}
wt[] = {10, 20, 30}
MaxWeight = 50
Output: MaxValue = 220
items = [1,2]
思路
使用二维数组 map[N][W] ,N 为放入背包的最大物品个数, W 为背包中物品的最大重量, 从 map[0][0]开始构建数组,(map[0][j] = 0, map[i][0] = 0)
对于 map[i][j],其可能取值只有两种情况:
第i个物品不放人背包,则map[i][j] = map[i-1][j]
第i个物品放入背包, 则 map[i][j] = map[i-1][j-weight[i]] + value[i]
当 weight[i] 小于当前最大背包容量 j 时,只能取第1种
实现
def OneZero_Knapsack_DP(Weight:list, Value:list, MaxWeight):
size = len(Weight)
# 初始化二维数组,加1是增加为0的情况
totalValue = [[0] * (MaxWeight + 1) for i in range(size + 1)]
for i in range(size + 1):
for j in range(MaxWeight + 1):
if i == 0 or j == 0:
totalValue[i][j] = 0
elif j >= Weight[i - 1]:
# 第i个物品可以放入背包
# 取二者最大值
totalValue[i][j] = max(totalValue[i - 1][j],
totalValue[i - 1][j - Weight[i - 1]] + Value[i - 1])
else:
# 第i个物品不能放入背包
totalValue[i][j] = totalValue[i - 1][j]
return totalValue[size][MaxWeight]
# 优化方法,
# 由于在计算可放入物品数量为k时的最大价值 totalValue[k][j] 时,
# 只需知道可放入物品数为 k-1 时的最大价值 totalValue[k-1][j] 和 totalValue[k-1][j-w[k]],
# 因此我们只需要保留最大价值与背包容量的关系,即只需构建数组 totalValue[MaxWeight+1],
# 用totalValue[w]的新值与旧值来表示放入 i 个物品的最大价值和 放入 i-1 个物品时的最大价值
# 然后用同样的方法进行迭代
def OneZero_Knapsack_DP2(Weight:list, Value:list, MaxWeight):
size = len(Weight)
totalValue = [0 for i in range(MaxWeight + 1)] # 初始化数组 totalValue[MaxWeight+1]
for i in range(size):
for j in range(MaxWeight , Weight[i]-1, -1): # MaxWeight <= j <= Weight[i]
totalValue[j] = max(totalValue[j], Value[i] + totalValue[j - Weight[i]])
# 当背包当前容量小于第i个物品的重量时,i不放入背包,
# 因此 totalValue[j < weight[i]] 的值不用改变
return totalValue[MaxWeight]
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