0-1 背包问题

描述：

给定 n 个物品的 重量 weight，价值 value，以及一个容量为 W 的背包，求如何装入物品，使背包内物品价值最大

对于一件物品，只能选择或不选择（0-1）

输入：

• value[n] —— n 个物品的价值表

• weight[n] —— n 个物品的重量表

• MaxWeight —— 背包的最大容量

输出：

• MaxValue —— 背包可获得的最大价值

• items —— 选择装入背包的物品列表

举例：

Input:

val[] = {60, 100, 120}

wt[] = {10, 20, 30}

MaxWeight = 50

Output: MaxValue = 220

items = [1,2]

Solution is below!

思路

使用二维数组 map[N][W] ，N 为放入背包的最大物品个数， W 为背包中物品的最大重量， 从 map[0][0]开始构建数组，（map[0][j] = 0, map[i][0] = 0）

对于 map[i][j]，其可能取值只有两种情况：

1. 第i个物品不放人背包，则map[i][j] = map[i-1][j]

2. 第i个物品放入背包， 则 map[i][j] = map[i-1][j-weight[i]] + value[i]

当 weight[i] 小于当前最大背包容量 j 时，只能取第1种

实现

Python

def OneZero_Knapsack_DP(Weight:list, Value:list, MaxWeight):
	size = len(Weight)
	# 初始化二维数组，加1是增加为0的情况
	totalValue = [[0] * (MaxWeight + 1) for i in range(size + 1)]

	for i in range(size + 1):
		for j in range(MaxWeight + 1):
			if i == 0 or j == 0:
				totalValue[i][j] = 0
			elif j >= Weight[i - 1]:
				# 第i个物品可以放入背包
				# 取二者最大值
				totalValue[i][j] = max(totalValue[i - 1][j], 
					totalValue[i - 1][j - Weight[i - 1]] + Value[i - 1])
			else:
				# 第i个物品不能放入背包
				totalValue[i][j] = totalValue[i - 1][j]

	return totalValue[size][MaxWeight]
	
# 优化方法，
# 由于在计算可放入物品数量为k时的最大价值 totalValue[k][j] 时，
# 只需知道可放入物品数为 k-1 时的最大价值 totalValue[k-1][j] 和 totalValue[k-1][j-w[k]]，
# 因此我们只需要保留最大价值与背包容量的关系，即只需构建数组 totalValue[MaxWeight+1]，
# 用totalValue[w]的新值与旧值来表示放入 i 个物品的最大价值和 放入 i-1 个物品时的最大价值
# 然后用同样的方法进行迭代
def OneZero_Knapsack_DP2(Weight:list, Value:list, MaxWeight):
	size = len(Weight)
	totalValue = [0 for i in range(MaxWeight + 1)] # 初始化数组 totalValue[MaxWeight+1]

	for i in range(size):
		for j in range(MaxWeight , Weight[i]-1, -1):	# MaxWeight <= j <= Weight[i]
			totalValue[j] = max(totalValue[j], Value[i] + totalValue[j - Weight[i]])
		# 当背包当前容量小于第i个物品的重量时，i不放入背包，
		# 因此 totalValue[j < weight[i]] 的值不用改变

	return totalValue[MaxWeight]

C++